Новые встречи с геометрией

Глава 1

Точки и линии, связанные с треугольником

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.

Е. Т. Белл

Цель этой главы состоит в том, чтобы вспомнить некоторые из тех полузабытых вещей, к которым отсылал доктор Белл, вывести новые теоремы, появившиеся после Евклида, и применить все это к интересным ситуациям. Мы рассматриваем произвольный треугольник и самые знаменитые связанные с ним точки и линии: центр описанной окружности, медианы, центроид, биссектрисы углов, центр вписанной окружности, центры вневписанных окружностей, высоты, ортоцентр, прямую Эйлера и окружность девяти точек.

Изучение биссектрис углов естественно подводит нас к теореме Штейнера — Лемуса, которая сотни лет считалась трудной для доказательства, хотя, как мы видим сейчас, ее довольно легко доказать.

Наконец, по треугольнику и точке P, находящейся в общем положении, мы получаем новый треугольник, вершины которого являются основаниями перпендикуляров из точки P к сторонам данного треугольника. Эта идея приводит к занимательным результатам, с некоторыми из них мы встретимся в следующей главе.