Новые встречи с геометрией

§ 1. Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов — это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться. К сожалению, она обычно появляется в учебниках в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому мы позволим себе доказать теорему синусов в желательной для нас форме.

Рисунок 1 A B C O J a Рисунок 2 A B C O J a
Рис. 1.Рис. 2.

Мы начинаем с треугольника ABC (обозначенного обычным способом) и описываем вокруг него окружность с центром в точке O и радиусом R, как показано на рисунках 1 и 2. Проведем диаметр CJ и хорду BJ. В обоих случаях ∠CBJ — прямой, так как он вписан в полукруг. Следовательно, на обоих рисунках

sinJ^= a CJ= a 2R .

На рисунке 1 Ĵ = Â, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности. На рисунке 2 Ĵ = 180° − Â, потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Вспоминая, что sinθ= 180°θ, получим, что в обоих случаях sin Ĵ = sin Â, следовательно, sin Â = a/2R, т. е.

asinA^ =2R .

Та же самая процедура, примененная к другим углам треугольника ABC дает

bsinB^ =2R , csinC^ =2R .

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Теорема 1.11. Для треугольника ABC с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

asinA^ = bsinB^ = csinC^ =2R .

Упражнения

1. Покажите, что *) для любого треугольника ABC, даже если угол В или С тупой, a=bcos C^+ ccos B^. Используйте теорему синусов для вывода «формулы сложения»

sin(B^ +C^)= sinB^· cosC^+ sinC^· cosB^ .

2. В любом треугольнике ABC

a( sinB^ sinC^)+ b( sinC^ sinA^)+ c( sinA^ sinB^) =0 .

3. В любом треугольнике ABC  SABC = abc/4R.

4. Пусть p и q — радиусы двух окружностей, проходящих через точку A и касающихся стороны BC в точках B и C соответственно. Тогда pq = R2.

*) В следующих упражнениях для экономии места мы опускаем слова «Покажите, что» или «Докажите, что». Таким образом, каждое упражнение, появляющееся в форме теоремы, нужно доказать.