Новые встречи с геометрией

§ 3. Замечательные точки

Существует много специальных точек и линий, связанных с треугольником, но нам придется ограничиться только небольшим их числом. Мы уже упоминали одну такую точку — центр окружности, описанной вокруг треугольника. Мы условимся обозначать ее буквой O. Она является точкой пересечения трех перпендикуляров, делящих пополам стороны треугольника (рис. 6). Радиус описанной окружности был уже обозначен буквой R.

Чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон, называются медианами. На рисунке 7 отрезки AA′, BB′ и CC′ — медианы, так что |BA′| = |A′C|, |CB′| = |B′A| и |AC′| = |C′B|. Применяя теорему 1.21, мы делаем вывод, что медианы конкурентны. Их общая точка G называется центроидом треугольника. Если бы треугольник был вырезан из однородного материала, то он оставался бы в равновесии, будучи подвешенным в этой точке. Другими словами, центроид есть «центр тяжести» треугольника.

Рисунок 6 A B C O R A′ B′ C′ Рисунок 7 A B C G A′ B′ C′ x x y y z z
Рис. 6.Рис. 7

Рассмотрев вновь рисунок 7, мы обнаруживаем, что SGBA′ = SGA′C, так как эти треугольники имеют одинаковые основания и одну и ту же высоту. Вот почему на рисунке мы обозначили эти площади одной и той же буквой x. Из тех же соображений мы имеем

SGCB′ = SGB′A и SGAC′ = SGC′B

Поэтому обозначим эти площади через y и z, как и показано. Однако мы также имеем SCAC′ = SCC′B, т. е. 2y + z = z + 2x, следовательно, x = y. Аналогично, SABA′ = SAA′C, следовательно, y = z. Таким образом, мы показали, что x = y = z, а это есть

Теорема 1.31. Треугольник делится своими медианами на шесть меньших треугольников равной площади.

Продолжая наше рассмотрение рисунка 7, мы отмечаем, что SGAB = 2SGBA′. Так как эти треугольники имеют общую высоту, то отсюда следует, что |AG| = 2|GA′|. Аналогично, |BG| = 2|GB′| и |CG| = 2|GC′|, т. е. имеет место:

Теорема 1.32. Медианы треугольника делят одна другую в отношении 2 : 1. Другими словами, каждая медиана треугольника отсекает треть другой.

Чевианы AD, BE, CF (рис. 8), перпендикулярные прямым BC, CA, AB, соответственно, называются высотами треугольника ABC. Как мы видели в упражнении 2 § 2, теорема, обратная теореме Чевы, устанавливает их конкурентность. Их общая точка H называется ортоцентром *).

*) Историю этого термина см. J. Satterly, Mathematical Gazette 45 (1965), стр. 51.

Сами точки D, E, F называются основаниями высот. Соединяя их попарно, мы получим треугольник BEF — ортотреугольник треугольника ABC.

Рисунок 8 A B C H D E F Рисунок 9 A B C L b c α α
Рис. 8.Рис. 9.

Другое важное семейство чевиан образуют биссектрисы внутренних углов. На рисунке 9 показана одна такая биссектриса AL. Применяя теорему 1.11 к двум треугольникам ABL и ALC (углы которых в точке L, являясь дополнительными, имеют равные синусы), мы получаем

|BL| sin 12 A^ = csin L^ , |LC| sin 12 A^ = bsin L^ .

Следовательно,

|BL| |LC| = cb .

Так как мы можем получить аналогичные результаты для биссектрис внутренних углов B и C, то мы таким образом доказали

Теорему 1.33. Каждая биссектриса внутреннего угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилегающих сторон.

Любая точка на прямой AL (рис. 9) равноудалена от прямых CA и AB. Аналогично, любая точка на биссектрисе внутреннего угла B равноудалена от прямых AB и BA. Следовательно, точка I, в которой эти две биссектрисы пересекаются, находится на равных расстояниях r от всех трех сторон:

Теорема 1.34. Биссектрисы трех внутренних углов треугольника конкурентны.

Рисунок 10 A B C I r α α β β γ γ
Рис. 10.

Окружность с центром в точке I и радиуса r (рис. 10) касается всех трех сторон и поэтому является вписанной окружностью.

Упражнения

1. Центр описанной окружности и ортоцентр тупоугольного треугольника лежат вне этого треугольника.

2. Найдите отношение площадей данного треугольника и треугольника, стороны которого имеют те же длины, что и медианы данного.

3. Любой треугольник, имеющий, две равные медианы, является равнобедренным.

4. Любой, треугольник, имеющий две равные высоты, является равнобедренным.

5. Используя теоремы 1.22 и. 1.33, получите другое доказательство теоремы 1.34.

6. Выразите длину медианы AA′ (рис. 7) через a, b, c.

Указание. Используйте теорему Стюарта (упражнение 4 § 2).

7. Квадрат длины биссектрисы AL (рис. 9) равен

bc 1 ab+c 2 .

8. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника со сторонами 3, 4, 5.

9. Произведение длин двух сторон треугольника равно произведению длины диаметра описанной окружности на длину высоты, опущенной на третью сторону.