Новые встречи с геометрией

§ 4. Вписанная и вневписанные окружности

На рисунке 11 изображена вписанная окружность, касающаяся сторон BC, CA и AB в точках X, Y, Z. Так как две касательные к окружности, проведенные из внешней точки, равны, то мы получаем, что |AY| = |AZ|, |BZ| = |BX|, |CX| = |CY|.

Рисунок 11 A B C X Y Z I r r r x x y y z z
Рис. 11.

На рисунке 11 длины этих отрезков обозначены буквами x, y, z, так что

y + z = a, z + x = b, x + y = c.

Складывая эти равенства и используя введенное Эйлером обозначение s для полупериметра (от «semi-perimeter»), получим

2x + 2y + 2z = a + b + c = 2s,

поэтому

x + y + z = s,

т. е. справедлива

Теорема 1.41. x = s − ay = s − bz = s − c.

Так как треугольник IBC имеет основание a и высоту r, то его площадь равна SIBC =12 ar. Прибавив к нему аналогичные выражения для SICA и SIAB, мы получим 12 a+b+c r= sr ; следовательно, доказана

Теорема 1.42. SABC = sr.

На рисунке 12 изображен треугольник IaIbIc, стороны которого являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC. Любая точка на биссектрисе IcIa угла B равноудалена от прямых AB и BC. Аналогично, любая точка на прямой IaIb равноудалена от прямых BC и CA. Следовательно, точка Ia, в которой эти биссектрисы пересекаются, находится на одинаковом расстоянии ra от всех трех сторон. Так как Ia равноудалена от сторон AB и AC, то она должна принадлежать множеству точек, равноудаленных от этих прямых, т. е. она должна лежать на прямой AI, внутренней биссектрисе угла A:

Теорема 1.43. Внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.

Рисунок 12 A B C I Ia Ib Ic Xa Xb Xc Ya Yb Yc Za Zb Zc
Рис. 12.

Окружность с центром в точке Ia радиуса ra, касающаяся всех трех сторон треугольника, является одной из трех вневписанных окружностей. Каждая из вневписанных окружностей касается одной из сторон треугольника внутри, а двух других сторон (продолженных) извне.

Обозначив точки касания как на рисунке 12, мы замечаем, что так как две касательные из одной точки к окружности имеют одинаковые длины, то

|BXb| = |BZb|

и

|BXb| + |BZb| = |BC| + |CXb| + |ZbA| + |AB| =

= |BC| + |CYb| + |YbA| + |AB| = a + b + c = 2s.

Следовательно, касательная из точки B (или любой другой вершины) к вневписанной окружности, расположенной за противолежащей стороной, имеет длину s. Действительно,

|AYa| = |AZa| = |BZb| = |BXb| = |CXc| = |CYc| = s.

Кроме того, так как |CXb| = |BXb| − |BC| = s − a и т. д., то также и

|BXc| = |BZc| = |CXb| = |CYb| = sa,

|CYa| = |CXa| = |AYc| = |AZc| = sb,

|AZb| = |AYb| = |BZa| = |BXa| = sc.

Упражнения

1. Если три окружности с центрами в точках A, B, C попарно касаются, то их радиусы равны s − a, s − b, s − c.

2. abc = 4srR (s, r, R имеют их обычные значения).

3. Чевианы AX, BY, CZ треугольника ABC, где X, Y, Z — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, конкурентны. (Их общая точка называется точкой Жергона треугольника ABC.)

4. Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника IaIbIc (рис. 12).

5. S△ABC = (s − ara = (s − brb = (s − crc (см. теорему 1.42).

6. 1ra+ 1rb+ 1rc= 1r  .