Новые встречи с геометрией

§ 5. Теорема Штейнера — Лемуса

Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Стоит только вспомнить три знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга. Попытки решить эти задачи привели к развитию новых ветвей математики. Даже сейчас существуют псевдоматематики, которые присылают в редакции «решения» этих задач и требуют публикации или доказательства ложности своих «решений».

Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:

Теорема 1.51. Любой треугольник, у которого равны длины биссектрис двух углов (измеряемые от вершины до противоположной стороны), является равнобедренным.

Эта теорема была послана великому шведскому геометру Якобу Штейнеру в 1840 году С. Л. Лемусом (имя которого, если бы не этот случай, было бы давно забыто) с просьбой дать чисто геометрическое доказательство. Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера — Лемуса появлялись в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1864 год, а также в большом количестве и в течение следующего столетия.

Одно из простейших доказательств опирается на следующие две леммы:

Лемма 1.511. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 1.512. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой ([22], стр. 72).

Рисунок 13 A B C M M′ N ½B^ ½B^ ½C^
Рис. 13.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором B^< C^, как на рисунке 13; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы B и C. Мы хотим доказать, что |BM| < |CN|. Возьмем точку M′ на отрезке BM так, чтобы MCN^ =12 B^. Так как этот угол равен углу M′BN, то четыре точки N, B, C, М′ лежат на одной окружности. Поскольку

B^< 12 B^+ C^ < 12 A^+ B^+ C^ ,

то

CBN^< MCB ^<90° .

По лемме 1.511 |CN| < |M′B|. Следовательно, |BM| > |BM′| > |CN|.

Доказательство теоремы. Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» — эквивалентной первоначальной. Например, вместо того, чтобы сказать: «Все люди смертны», мы можем также сказать «Бессмертные не есть люди». Вместо доказательства самой теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике ABC B^ C^ , то |BM| ≠ |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 1.512.

Вышеприведенное доказательство этой леммы имеет занятную историю. Оно было придумано двумя английскими инженерами Г. Джильбертом и Д. Мак-Доннеллом и опубликовано в American Mathematical Monthly 7 (1963), стр. 79—80, со следующим редакционным примечанием:

«Мартин Гарднер в своем обзоре книги Коксетера «Введение в геометрию» (Scientific American 204 (1961), стр. 166—168) описал эту знаменитую теорему столь интересно, что сотни читателей прислали ему свои доказательства. Он взял на себя труд по обработке этого громадного материала и совершенствовал его до тех пор, пока не заблистала, очищенная от наслоений, жемчужина, которую мы приводим здесь.»

Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что доказательство Джильберта и Мак-Доннелла, подобно большинству других (например, [22], стр. 73 [17], стр. 32), является косвенным: вместо самой теоремы Штейнера — Лемуса они доказывают теорему, противоположную к обратной (лемма 1.512). Было предложено несколько якобы прямых доказательств (например, [17], стр. 589 и [42], стр. 31, 249); но каждое из них в действительности является в скрытой форме косвенным. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство — прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных. Стоит ли об этом сожалеть? Великий английский математик Г. Харди говорил по этому поводу ([40], стр. 34):

«Reductio ad absurdum *), столь любимое Евклидом, является тончайшим инструментом математика. Оно является намного более тонким гамбитом, чем любой шахматный гамбит: шахматист может предложить в жертву пешку или другую фигуру, а математик предлагает в жертву всю игру.»

*) Приведение к абсурду (лат.). — Прим. перев.

Упражнения

1. В треугольнике ABC даны величины углов B^=12° , C^=132° . Проведены внешние биссектрисы BM и CN этих углов до пересечения с продолжениями противоположных сторон. Сравните длины этих биссектрис, не используя тригонометрические функции (О. Боттема) **).

**) См. Archibald Henderson, Scripta Mathematica 21 (1956), стр. 309—310.

2. Где доказательство теоремы 1.51 нарушается, если мы попытаемся применить его к внешним биссектрисам треугольника Боттемы (в котором, как каждый согласится, B^< C^ )?

3. Используйте упражнение 7 § 3 для получения «прямого» доказательства теоремы Штейнера — Лемуса.