Новые встречи с геометрией

§ 7. Серединный треугольник и прямая Эйлера

Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником. На рисунке 15 треугольник A′B′C′ есть серединный треугольник треугольника ABC. Рассмотрим также две медианы AA′ и BB′, пересекающиеся в точке O, две высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H, и две высоты треугольника A′B′C′, пересекающиеся в точке O. Поразительно, как много можно обнаружить, лишь изучая этот рисунок.

Рисунок 15 A A′ B B′ C C′ D E G H N O P
Рис. 15.

Во-первых, стороны треугольника A′B′C′ параллельны сторонам треугольника ABC, поэтому эти треугольники подобны. Далее, CB =12 BC , поэтому отношение длин любых двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно 1 : 2, В действительности, отрезки B′C′, C′A′, A′B′ разбивают треугольник ABC на четыре конгруэнтных треугольника. Кстати, точка P — середина отрезка B′C′ — также является и серединой отрезка AA′.

Далее мы видим, что AC′A′B′ — параллелограмм, следовательно, прямая AA′ делит пополам отрезок B′C′, Поэтому медианы треугольника A′B′C′ лежат на медианах треугольника ABC, а это означает, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника A′B′C′, изображенные нами на рисунке, являются серединными перпендикулярами сторон AB и BC треугольника ABC. Отсюда мы делаем вывод, что точка O — ортоцентр треугольника A′B′C′ — является в то же время и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как точка H — ортоцентр треугольника ABC, а точка O — ортоцентр подобного ему треугольника A′B′C′, то |AH| = 2 |OA′|. Вспомним, что по теореме 1.32 |AG| = 2 |GA′|. И наконец, так как оба отрезка, AD и OA′, перпендикулярны стороне BC, то они параллельны. Следовательно,

HAG^ = OAG^ ,HAG ∽ △OA′G,

и

AGH^ = AGO^ .

Этим показано, что точки O, G, H коллинеарны *) и |HG| = 2 |GO′|, т. е. справедлива

Теорема 1.71. Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2 : 1.

Прямая, на которой лежат эти три точки, называется прямой Эйлера этого треугольника.

*) Точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. — Прим. перев.

Давайте изучим рисунок 15 более тщательно. Мы отметили точку N, где прямая Эйлера HO пересекает прямую, проходящую через точку P перпендикулярно отрезку B′C′. Все три прямые AH, PN и A′O, перпендикулярные к отрезку B′C′, параллельны. Так как |AP| = |PA′|, то прямая PN равноудалена от прямых AH и A′O. Следовательно, точка N — середина отрезка HO.

До сих пор в наших рассуждениях фигурировала сторона B′C′ треугольника A′B′C′. Если мы проведем те же рассуждения, но применительно к какой-либо другой стороне этого треугольника, то отрезок HO останется тем же, и он будет делиться пополам серединным перпендикуляром к новой стороне. Так как у отрезка HO только одна середина, то мы можем утверждать, что серединные перпендикуляры всех трех сторон треугольника A′B′C′ будут проходить через точку N. Другими словами, точка N должна быть центром окружности, описанной вокруг треугольника A′B′C′.

Итак, центр окружности, описанной вокруг серединного треугольника, лежит в середине отрезка HO прямой Эйлера исходного треугольника. Кроме того, так как треугольник A′B′C′ подобен треугольнику ABC, то радиус окружности, описанной вокруг серединного треугольника, равен половине радиуса окружности, описанной вокруг исходного треугольника.

Имя Эйлера появляется столь часто и в столь многих областях математики, что невозможно не сказать о нем несколько слов. Леонард Эйлер родился в 1707 году в г. Базеле (Швейцария). В 1727 году он был приглашен в Россию в Санкт-Петербургскую академию. В 1741 году он уехал в Берлин, чтобы получить кафедру математики Прусской академии. Он вернулся в Санкт-Петербург в 1766 году и оставался там вплоть до своей смерти в 1783 году.

Эйлер был неутомимым работником, его деятельность обогатила каждую область математики. Куда ни глянешь, всюду либо теорема Эйлера, либо формула Эйлера, либо метод Эйлера. Эйлер написал 473 мемуара, которые были опубликованы при его жизни, и еще 200, которые были опубликованы вскоре после его смерти, и еще 61 мемуар, которые были изданы позже. И все это несмотря на то, что в 1735 году он перестал видеть одним глазом, а в 1766 году обоими. Он обладал исключительным комбинаторным даром, и его интуитивное понимание математики было огромным. Мы еще не раз встретимся с его именем в этой книге.

Упражнения

1. Начертив новый вариант рисунка 15, основанный на рисунке 2 (вместо ранее использованного рисунка 1), проверьте, что наше доказательство теоремы 1.71 остается справедливым и для случая тупоугольности треугольника ABC.

2. |OH|2 = 9R2 − a2 − b2 − c2.

3. |DA′| = |b2 − c2| / 2а.

4. Если треугольник ABC обладает тем свойством, что его прямая Эйлера параллельна стороне BC, то tgB^ · tgC^ =3 .