Новые встречи с геометрией

§ 9. Педальный треугольник

Ортотреугольник и серединный треугольник являются двумя примерами сопутствующих треугольников более общего типа. Пусть P — любая точка внутри данного треугольника ABC, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки P на стороны BC, CA, AB треугольника будут PA1, PB1 и PC1, как на рисунке 18. Треугольник A1B1C1, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника ABC для «педальной точки» P. Требование, чтобы точка P находилась внутри треугольника, можно ослабить, запретив лишь точке P находиться на окружности, описанной вокруг треугольника ABC (по причинам, которые будут объяснены в § 5 гл. 2). Ясно, что если точка P — ортоцентр, то образуется ортотреугольник, а если она — центр описанной окружности, то образуется серединный треугольник.

Рисунок 18 A A1 B B1 C C1 P
Рис. 18.

Разберем рисунок 18 более детально. Прямые углы в точках C1 и B1 указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром AP; другими словами, точка P лежит на окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1. Применив теорему синусов к этому треугольнику, а также к самому треугольнику ABC, мы получаем

B1 C1 sin A^ = AP , a sin A^ =2R ,

откуда

B1 C1 = a AP 2R .

Аналогично,

C1 A1 = b BP 2R и A1 B1 = c CP 2R .

Таким образом, нами доказана

Теорема 1.91. Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника ABC равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

ax 2R , by 2R , cz 2R .

Разумеется, в частном случае x = y = z = R это утверждение общеизвестно.

Перейдем к одной очень интересной задаче, в которой рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Она в то же самое время прекрасно демонстрирует роль воображения в геометрии. Эта задача, по-видимому, впервые появилась в 1892 году, когда она была добавлена редактором Ж. Нейбергом в шестое издание классического труда Джона Кейси «Продолжение первых шести книг Начал Евклида» *). На рисунке 19 внутренняя точка P использована для определения треугольника A1B1C1 (первого) педального треугольника треугольника ABC. Та же самая педальная точка P снова использовалась для определения педального треугольника треугольника A1B1C1, который мы обозначим через A2B2C2 и, естественно, назовем «вторым педальным треугольником» треугольника ABC. Третья операция дает треугольник A3B3C3 — педальный треугольник треугольника A2B2C2. Мы подразумеваем, что и для «третьего педального треугольника» использовалась та же самая точка P. В этих терминах открытие Нейберга можно выразить следующим образом:

*) J. Casey, A sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid (6th ed.), Hodges Figgis, Dublin, 1892.

Теорема 1.92. Третий педальный треугольник подобен исходному.

Рисунок 19 A A1 A2 A3 B B1 B2 B3 C C1 C2 C3 P
Рис. 19.

Доказательство является удивительно простым. Оно легко следует из чертежа, стоит лишь соединить точки P и A. Если рассмотреть окружности, описанные вокруг треугольников AB1C1, A2B1C2, A3B3C2, A2B2C1 и A3B2C3, то точка P принадлежит каждой из них, поэтому

C1 A P ^= C1 B1 P ^= A2 B1 P ^= A2 C2 P ^= B3 C2 P ^= B3 A3 P ^

и

P A B1 ^= P C1 B1 ^= P C1 A2 ^= P B2 A2 ^= P B2 C3 ^= P A3 C3 ^

Другими словами, две части, на которые прямая AP делит угол A (обозначенные на чертеже одинарной и двойной дугами), имеют двойников: одна — при вершине B1, а другая — при вершине C1, далее — при вершинах B2 и C2 и, наконец, обе — при вершине A3. Следовательно, треугольник ABC и треугольник A3B3C3 имеют равные углы при вершинах A и A3. Аналогично, они имеют равные углы при вершинах B и B3. Таким образом, теорема доказана.

Интересно проследить на чертеже «шествие углов» из положения A в положение A3 — столь же четкое, как и маневры вымуштрованной команды.

Это свойство продолжающихся педальных треугольников было обобщено доктором А. Оппенгеймом, проректором Малайского университета в Сингапуре.

Он установил, что n-й педальный n-угольник любого n-угольника подобен первоначальному n-угольнику. Довольно поучительно провести подобное построение для четвертого педального четырехугольника некоторого четырехугольника, проследив еще более длинное «шествие углов».

На этом месте мы прерываем наши исследования. Мы выполнили часть того, что намеревались сделать: начав с хорошо известных элементарных утверждений, мы выявили ряд простых, но важных фактов. Методы, описанные здесь, позволяют решить многие задачи. Некоторые из них — это широко известные трудные задачи, которые читатель, возможно, видел раньше. Мы хотим закончить эту главу пятью из этих неувядающих трудных задач.

Упражнения

1. Если продолжение чевианы AQ равностороннего треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P, то

1 PB + 1 PC = 1 PQ .

2. Если внутри квадрата ABCD построен равнобедренный треугольник PAB с углами по 15° при основании AB, как на рисунке 20, то точки P, C, D являются вершинами равностороннего треугольника.

Рисунок 20 A B C D P 15° 15°
Рис. 20.

3. Если прямые PB и PD, проведенные вне параллелограмма ABCD, составляют равные углы со сторонами BC и DC соответственно, как на рисунке 21, то CPB^ = DPA^ . (Конечно, это плоский, а не пространственный чертеж.)

Рисунок 21 A B C D P α α β β γ δ ε Рисунок 22 A B C D E 20° 30° 50° 60°
Рис. 21.Рис. 22.

4. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с углами по 80° при вершинах B и C. Чевиана BD делит угол B на углы в 60° и 20°, а чевиана CE делит угол C на углы в 30° и 50°, как на рисунке 22. Найдите EDB^ .

5. Если две прямые, проходящие через одну из вершин равностороннего треугольника, делят полуокружность, построенную извне на противоположной стороне, на три равных дуги, то эти прямые делят саму сторону на три равных отрезка.