Автор: Андрей Владимирович Лукьянов // © 2008 // e-mail: land@long.yar.ru
Опубликовано: 2008-02-02
Последняя правка: 2008-02-04
Внимание! В рассуждении содержится существенная ошибка, которая делает почти всю статью бессмысленной. Можете попытаться найти ошибку самостоятельно.
В алгебре существует понятие поля (см. Википедия:Поле). Поле представляет собой некоторое множество M, на котором заданы две бинарные операции (условно называемые «сложением» и «умножением»). Каждая из этих двух операций образует коммутативную группу (сложение на всём множестве M, а умножение на M∖{0}, где 0 — единичный элемент группы сложения). Обе группы связаны законом дистрибутивности:
a · (b + c) = a · b + a · c
Таким образом, поле имеет два «этажа»: группу сложения и группу умножения.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли надстроить ещё один «этаж» — добавить ещё одну бинарную операцию («суперумножение», в дальнейшем будет обозначаться стрелочкой вверх ↑), которая будет образовывать коммутативную группу на M∖{0,1} (0 и 1 — единичные элементы группы сложения и умножения, соответственно), и при этом будет связана с умножением законом дистрибутивности:
a ↑ (b · c) = a↑b · a↑c
Трёхэтажное поле должно состоять как минимум из трёх элементов (поскольку M∖{0,1} должно быть непустым). Возьмём множество {0,1,2}. Сложение и умножение по модулю 3 уже образуют на нём двухэтажное поле, поэтому нам нужно добавить ещё одну операцию. Определим её так:
a↑b = 0, если a=0 или b=0
a↑b = 1, если (a=1 и b≠0) или (a≠0 и b=1)
a↑b = 2, если a=2 и b=2
Таблицы выполнения всех трёх операций выглядят так:
|
|
|
«Суперумножение» образует здесь тривиальную одноэлементную группу на множестве {2}. Остаётся убедиться в выполнении дистрибутивного закона
a ↑ (b · c) = a↑b · a↑c
Если a=0, то обе части равенства равны 0.
Если a=1, и при этом b=0 или c=0, то обе части равенства равны 0.
Если a=1, и при этом b≠0 и c≠0, то обе части равенства равны 1.
Если a=2, то обе части равенства равны b · c.
Таким образом, это действительно трёхэтажное поле.
Сложение и умножение образуют на комплексных числах (ℂ) двухэтажное поле. Определим третью операцию («суперумножение») следующим образом:
a↑b = eln a · ln b, если a≠0 и b≠0
a↑b = 0, если a=0 или b=0
Можно заметить, что eln a · ln b = aln b = bln a
[Замечание: В принципе можно было бы использовать не натуральные логарифмы, а любые другие.]
Убедимся, что эта операция образует группу на множестве ℂ∖{0,1}, т. е. что выполняются: (1) закон композиции (2) закон ассоциативности (3) есть единичный элемент (4) для каждого элемента есть обратный.
(1) Закон композиции выполняется, поскольку операция ↑ определена на всём множестве ℂ.
(2) Закон ассоциативности выполняется, поскольку (a, b, c≠0):
(a↑b)↑c = eln(eln a · ln b) · ln c = eln a · ln b · ln c = eln a · ln(eln b · ln c) = a↑(b↑c)
Если же a или b или c равны нулю, то (a↑b)↑c=0 и a↑(b↑c)=0.
(3) Единичным элементом является число e (2,71828...).
(4) Обратным элементом для любого числа a (кроме ненужных нам 0 и 1) является e1/ln a.
Таким образом, это действительно группа.
Теперь проверим выполнение дистрибутивного закона (a, b, c≠0):
a↑(b · c) = eln a · ln(b · c) = eln a · (ln b + ln c) = eln a · ln b + ln a · ln c = eln a · ln b · eln a · ln c = a↑b · a↑c
Если же a или b или c равны нулю, то a↑(b · c)=0 и a↑b · a↑c =0.
Таким образом, мы построили трёхэтажное поле на множестве комплексных чисел.
Теперь построим четвёртый этаж. Определим «суперсуперумножение» как
a↑↑b = eeln ln a · ln ln b, если a≠0 и b≠0 и a≠1 и b≠1
a↑↑b = 1, если (a=1 или b=1) и a≠0 и b≠0
a↑↑b = 0, если a=0 или b=0
Единичным элементом этой операции будет ee, а обратным (для элемента a) — ee1 / ln ln a.
Проверим лишь выполнение дистрибутивного закона для случая a, b, c≠0, ≠1 (проверку всего остального предоставляем читателям):a↑↑(b↑c) = eeln ln a · ln ln eln b · ln c = eeln ln a · ln (ln b · ln c) = eeln ln a · (ln ln b + ln ln c) =
= eeln ln a · ln ln b + ln ln a · ln ln c = eeln ln a · ln ln b · eln ln a · ln ln c =
= (eeln ln a · ln ln b) eln ln a · ln ln c = (a↑↑b) ln (a↑↑c) = (a↑↑b) ↑ (a↑↑c)
Можно предположить, что таким образом можно неограниченно наращивать число «этажей». Например, операция пятого «этажа» (суперсуперсуперумножение) будет выглядеть как
a↑↑↑b = eeeln ln ln a · ln ln ln b, если a≠0 и b≠0 и a≠1 и b≠1 и a≠e и b≠e
a↑↑↑b = e, если (a=e или b=e) и a≠1 и b≠1 и a≠0 и b≠0
a↑↑↑b = 1, если (a=1 или b=1) и a≠0 и b≠0
a↑↑↑b = 0, если a=0 или b=0
Единичным элементом этой операции будет eee, а обратным (для элемента a) — eee1 / ln ln ln a.
И так далее до бесконечности...