Новые встречи с геометрией

← § 3. Замечательные точки ← | ↑ К оглавлению ↑ | → § 5. Теорема Штейнера — Лемуса →

§ 4. Вписанная и вневписанные окружности

На рисунке 11 изображена вписанная окружность, касающаяся сторон BC, CA и AB в точках X, Y, Z. Так как две касательные к окружности, проведенные из внешней точки, равны, то мы получаем, что |AY| = |AZ|, |BZ| = |BX|, |CX| = |CY|.

На рисунке 11 длины этих отрезков обозначены буквами x, y, z, так что

y + z = a, z + x = b, x + y = c.

Складывая эти равенства и используя введенное Эйлером обозначение s для полупериметра (от «semi-perimeter»), получим

2x + 2y + 2z = a + b + c = 2s,

поэтому

x + y + z = s,

т. е. справедлива

Теорема 1.41. x = s − a,  y = s − b,  z = s − c.

Так как треугольник IBC имеет основание a и высоту r, то его площадь равна $S_{IBC}=\frac{1}{2}ar$. Прибавив к нему аналогичные выражения для S_ICA и S_IAB, мы получим $\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)r=sr$; следовательно, доказана

Теорема 1.42. S_ABC = sr.

На рисунке 12 изображен треугольник I_aI_bI_c, стороны которого являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC. Любая точка на биссектрисе I_cI_a угла B равноудалена от прямых AB и BC. Аналогично, любая точка на прямой I_aI_b равноудалена от прямых BC и CA. Следовательно, точка I_a, в которой эти биссектрисы пересекаются, находится на одинаковом расстоянии r_a от всех трех сторон. Так как I_a равноудалена от сторон AB и AC, то она должна принадлежать множеству точек, равноудаленных от этих прямых, т. е. она должна лежать на прямой AI, внутренней биссектрисе угла A:

Теорема 1.43. Внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.

Окружность с центром в точке I_a радиуса r_a, касающаяся всех трех сторон треугольника, является одной из трех вневписанных окружностей. Каждая из вневписанных окружностей касается одной из сторон треугольника внутри, а двух других сторон (продолженных) извне.

Обозначив точки касания как на рисунке 12, мы замечаем, что так как две касательные из одной точки к окружности имеют одинаковые длины, то

|BX_b| = |BZ_b|

и

|BX_b| + |BZ_b| = |BC| + |CX_b| + |Z_bA| + |AB| =

= |BC| + |CY_b| + |Y_bA| + |AB| = a + b + c = 2s.

Следовательно, касательная из точки B (или любой другой вершины) к вневписанной окружности, расположенной за противолежащей стороной, имеет длину s. Действительно,

|AY_a| = |AZ_a| = |BZ_b| = |BX_b| = |CX_c| = |CY_c| = s.

Кроме того, так как |CX_b| = |BX_b| − |BC| = s − a и т. д., то также и

|BX_c| = |BZ_c| = |CX_b| = |CY_b| = s − a,

|CY_a| = |CX_a| = |AY_c| = |AZ_c| = s − b,

|AZ_b| = |AY_b| = |BZ_a| = |BX_a| = s − c.

Упражнения

1. Если три окружности с центрами в точках A, B, C попарно касаются, то их радиусы равны s − a, s − b, s − c.

2. abc = 4srR (s, r, R имеют их обычные значения).

3. Чевианы AX, BY, CZ треугольника ABC, где X, Y, Z — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, конкурентны. (Их общая точка называется точкой Жергона треугольника ABC.)

4. Треугольник ABC является ортотреугольником треугольника I_aI_bI_c (рис. 12).

5. S_△ABC = (s − a) r_a = (s − b) r_b = (s − c) r_c (см. теорему 1.42).

6. $\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}$ .

← § 3. Замечательные точки ← | ↑ К оглавлению ↑ | → § 5. Теорема Штейнера — Лемуса →