Новые встречи с геометрией

§ 6. Ортотреугольник

Можно многое узнать, исследуя рисунок 14, на котором изображены остроугольный треугольник ABC, центр O описанной вокруг него окружности, ортоцентр H и ортотреугольник DEF.

Рис. 14.

Объясним, почему мы обозначили несколько углов на рисунке одним и тем же символом α, имеющим значение

90° - \hat{A}

. Во-первых, так как треугольник OA′C подобен треугольнику JBC, изображенному на рисунке 1, то

\hat{A' O C} = \hat{A}

. Таким образом, величина каждого из углов при основании равнобедренного треугольника ОВС равна

90° - \hat{A}

. Из прямоугольных треугольников ABE и ACF мы получаем те же значения для углов EBA и ACF. Равенство последних двух углов можно было бы увидеть из того факта, что четырехугольник BCEF является вписанным, так как углы BEC и BFC — прямые. Аналогично, используя четырехугольники BDHF и CEHD, мы находим, что

$\hat{H D F} = \hat{H B F} = \hat{E B F} = \hat{E C F} = \hat{E C H} = \hat{E D H}$ .

Таким образом, отрезок HD является биссектрисой угла EDF.

Из тех же соображений получаем, что отрезок HE делит пополам угол FED, а отрезок HF — угол DFE. Поэтому мы можем сформулировать следующий весьма интересный результат: высоты в треугольнике являются биссектрисами его ортотреугольника. Этот результат можно иначе записать в следующем виде:

Теорема 1.61. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Мы уже отметили на рисунке 14, что $\hat{H D F} = \hat{D B O}$ . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Аналогично показывается перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA.

Упражнения

1. △AEF ∽ △DBF ∽ △DEC ∽ △ABC (рис. 14).

2. Нарисуйте другой вариант рисунка 14, в котором угол при вершине A — тупой. Какое из вышеприведенных заключений должно быть изменено?

3. Ортоцентр тупоугольного треугольника является центром вневписанной окружности к ортотреугольнику.

4. $\hat{H A O} = |\hat{B} - \hat{C}|$ .