Чтобы облегчить восприятие дальнейшего, мы уберем некоторые линии на рисунке 15 и добавим несколько других; в результате получим рисунок 16. Рассмотрим внимательно новый чертеж, на котором K, L, M — середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах. Так как BC — общая сторона двух треугольников ABC и HBC, а точки C′, B′ и LM, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки C′B′ и LM параллельны прямой BC (а их длины равны половине длины отрезка BC). Аналогично, так как AH — общая сторона двух треугольников BAH и CAH, то оба отрезка C′L и B′M параллельны прямой AH (а их длины равны половине длины отрезка AH). Следовательно, B′C′LM — параллелограмм. Так как отрезки BC и AH — перпендикулярны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Аналогично, A′B′KL — прямоугольник (как и C′A′MK). Следовательно, A′K, B′L, C′M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке 17.
| Рис. 16. | Рис. 17. |
Так как ∠A′DK — прямой, эта окружность (построенная на отрезке A′K, как на диаметре) проходит через точку D. Точно также она проходит через точки E и F. Суммируя вышесказанное, получаем:
Теорема 1.81. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющие его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности радиуса .
Следуя Ж. В. Понселе, мы называем ее окружностью девяти точек этого треугольника. Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны точкам A′, B′, C′, то каждый из двух треугольников KLM или A′B′C′ может быть получен из другого поворотом на 180° вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два конгруэнтных треугольника, должен также поменять местами и их ортоцентры H и O. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина отрезка HO, которую уже ранее мы обозначили через N, имея в виду ее будущую роль центра окружности девяти точек. Другими словами:
Теорема 1.82. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
История этих двух теорем несколько запутана. Задача Б. Бивана, опубликованная в английском журнале в 1804 году, по-видимому, указывает на то, что эти теоремы уже тогда были известны. Иногда они ошибочно приписываются Эйлеру, который уже в 1765 году доказал, что ортотреугольник и серединный треугольник имеют общую описанную окружность. И в самом деле, европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера». По-видимому, первое полное доказательство было опубликовано в 1821 году Понселе. К. Фейербах переоткрыл частичный результат Эйлера еще позже и добавил новое свойство, которое является настолько замечательным, что побуждает многих авторов называть окружность девяти точек «окружностью Фейербаха». Теорема Фейербаха (которую мы докажем в § 6 гл. 5) утверждает, что окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей.
1. Четырехугольник AKA′O (см. рис. 16) — параллелограмм.
2. В окружности девяти точек (см. рис. 17) точки K, L, M делят пополам соответственно дуги EF, FD и DE.
3. Окружность, описанная вокруг треугольника ABC, является окружностью девяти точек треугольника IaIbIc.
4. Пусть три конгруэнтные окружности имеют общую точку и пересекаются еще в трех точках A, B и C. Тогда радиус каждой из этих окружностей равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и их общая точка является ортоцентром этого треугольника.
5. Окружность девяти точек пересекает стороны треугольника под углами , , .