Новые встречи с геометрией

Предисловие

Тот, кто ни во что не ставит евклидову геометрию, подобен человеку, который, вернувшись из чужих краев, поносит свой дом.

Г. Фордер

В программу по математике средней школы (США) входит годичный курс геометрии плоскости или курс геометрии и элементарной аналитической геометрии, называемый «математика-10». Обычно для ученика средней школы на этом и заканчивается знакомство с геометрией. В противоположность этому, математически одаренным школьникам программы средней школы дают возможность дальнейшего изучения элементарной алгебры, дополнительных ее глав и даже высшей алгебры. Поэтому естественно наблюдаемое пристрастие к алгебре и предубеждение против геометрии. Более того, введенные в заблуждение энтузиасты пытаются убедить учащихся, что геометрия находится «где-то в стороне от основного направления математики» и что анализ или теория множеств должны вытеснить ее.

Возможно, тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Мы имеем в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Брианшона (§ 9 гл. 3), теорема Фейербаха (§ 6 гл. 5), теорема Петерсона — Рута (§ 8 гл. 4) и теорема Морлея (§ 9 гл. 2). Как известно из истории, Евклид писал для зрелых людей, которые готовились изучать философию. И вплоть до нашего столетия одной из основных причин обучения геометрии было то, что ее аксиоматический метод считался лучшим введением в дедукцию. Естественно, что на этот формальный метод делался акцент в процессе обучения. Однако ни древние, ни современные реометры не боялись использовать менее ортодоксальные методы, когда это их устраивало. Если методы тригонометрии, аналитической геометрии или векторные методы подойдут, геометры их используют. Кроме того, они создали свои собственные современные методы, элегантные и мощные. Один из них — применение преобразований таких, как поворот, симметрия и подобие, что дало возможность доказать ряд теорем более рациональным способом, а также связать геометрию с кристаллографией и искусством. Этому «динамическому» аспекту геометрии посвящена глава 4. Другим является метод инверсивной геометрии, рассматривающий точки и окружности, при этом и прямая считается окружностью, проходящей через бесконечно удаленную точку. О некоторых особенностях этой геометрии рассказывается в главе 5. И, наконец, третий — метод проективной геометрии, который совсем не рассматривает расстояния и углы, а выделяет аналогию между точками и прямыми. В проективной геометрии не только через любые две точки проходит прямая, но и любые две прямые имеют точку пересечения; при этом параллельные прямые пересекаются на «бесконечно удаленной прямой». Изложению небольшого фрагмента этой темы посвящена глава 6.

Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений. На свете еще есть геометрия, которая ждет, чтобы ее познали и оценили. Геометрия (особенно проективная геометрия) остается отличным средством введения учащихся в аксиоматику. Геометрия сохранила всегда присущую ей эстетическую привлекательность, и не поблекла красота ее результатов. Более того, для специалистов в чистой и прикладной математике геометрия стала еще более полезной и необходимой, чем она была когда-либо раньше. Возьмите, например, формы орбит искусственных спутников и четырехмерную геометрию пространства-времени.

Геометрия росла. На протяжении веков были разработаны новые понятия и методы, которые будут для учащихся интересными и удивительными, если мы приложим все усилия, чтобы донести до них эти понятия. Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Возможно, мы снова сможем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.

Авторы приносят искреннюю благодарность доктору Аннелии Лакс за ее терпеливое сотрудничество и многие полезные предложения.

Г. С. М. Коксетер

С. Л. Грейтцер

Торонто и Нью-Йорк, 1967