Новые встречи с геометрией

§ 6. Ортотреугольник

Можно многое узнать, исследуя рисунок 14, на котором изображены остроугольный треугольник ABC, центр O описанной вокруг него окружности, ортоцентр H и ортотреугольник DEF.

Рисунок 14 A A′ B C D E F H O α α α α α
Рис. 14.
Объясним, почему мы обозначили несколько углов на рисунке одним и тем же символом α, имеющим значение 90°A^ . Во-первых, так как треугольник OA′C подобен треугольнику JBC, изображенному на рисунке 1, то AOC^ =A^ . Таким образом, величина каждого из углов при основании равнобедренного треугольника ОВС равна 90°A^ . Из прямоугольных треугольников ABE и ACF мы получаем те же значения для углов EBA и ACF. Равенство последних двух углов можно было бы увидеть из того факта, что четырехугольник BCEF является вписанным, так как углы BEC и BFC — прямые. Аналогично, используя четырехугольники BDHF и CEHD, мы находим, что

HDF^= HBF^= EBF^= ECF^= ECH^= EDH^ .

Таким образом, отрезок HD является биссектрисой угла EDF.

Из тех же соображений получаем, что отрезок HE делит пополам угол FED, а отрезок HF — угол DFE. Поэтому мы можем сформулировать следующий весьма интересный результат: высоты в треугольнике являются биссектрисами его ортотреугольника. Этот результат можно иначе записать в следующем виде:

Теорема 1.61. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Мы уже отметили на рисунке 14, что HDF^= DBO^. А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Аналогично показывается перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA.

Упражнения

1. △AEF ∽ △DBF ∽ △DEC ∽ △ABC (рис. 14).

2. Нарисуйте другой вариант рисунка 14, в котором угол при вершине A — тупой. Какое из вышеприведенных заключений должно быть изменено?

3. Ортоцентр тупоугольного треугольника является центром вневписанной окружности к ортотреугольнику.

4. HAO^= B^ C^ .